Ottenere un finanziamento per l’acquisto di una nuova auto, oppure un mutuo per l’acquisto di una casa, è un’ottima modalità per poter avere qualcosa “oggi” senza avere l’intera disponibilità finanziaria necessaria per l’acquisto di quel bene.
Spesso infatti non si ha a disposizione tutta la liquidità necessaria per acquistare un bene di grande valore come una casa e, di conseguenza, fare un mutuo può essere l’unica possibilità per acquistare un immobile.
Da un punto di vista finanziario, un mutuo è una operazione finanziaria nella quale abbiamo una sola entrata all’inizio del periodo (ovvero quando la banca ci eroga i soldi necessari per l’acquisto) seguito da una serie di uscite monetarie, tipicamente ricorrenti mensilmente e con un importo fisso per tutta la durata del mutuo (che può durare anche fino a 30-40 anni).
Queste uscite includono il rimborso del capitale preso a prestito, nonché una quota di interessi come remunerazione nei confronti di chi ci ha prestato il capitale (la banca).
La definizione delle modalità (numero di rate, scadenze ed importi) con cui tale prestito verrà rimborsato prende il nome di piano di rimborso.
Possiamo definire 2 principali possibilità: il rimborso globale finale ed il rimborso graduale (o ammortamento).
Rimborso globale finale
Sia il capitale che gli interessi vengono tutti corrisposti alla scadenza del prestito. Si tratta del rimborso più elementare che si applica ad operazioni finanziarie di importo modesto, come ad esempio piccoli prestiti tra amici o parenti.
Poiché gli interessi vengono restituiti in un’unica soluzione, assieme al capitale, per calcolare la somma da restituire possiamo utilizzare le formule di calcolo del momento viste per i regimi di capitalizzazione ad interesse semplice e ad interesse composto:
- Interesse semplice: Mt = C (1 + it)
- Interesse composto: Mt = C (1 + i)t
Dove naturalmente C è il capitale inizialmente presto a prestito, i è il tasso di interesse, t è il numero di periodi ed M il montante finale da restituire alla fine del prestito.
Ammortamento
Sia il capitale che gli interessi vengono corrisposti periodicamente (ad esempio mensilmente) lungo un determinato arco temporale, tramite una serie di rate. Per ognuna delle scadenze k, la rata (Rk) include una quota di restituzione del capitale (Ck) ed una quota di interessi (Ik), quindi:
Rk = Ck + Ik
L’insieme delle rate prende il nome di “piano di ammortamento” e può essere riassunto tramite la seguente tabella:
| Periodo k | Rata Rk | Quota capitale Ck | Quota interessi Ik | Debito residuo Dk | Debito estinto Ek |
| 0 | – | – | – | C | 0 |
| 1 | R1 | C1 | I1 | D1 | E1 |
| 2 | R2 | C2 | I2 | D2 | E2 |
| … | … | … | … | … | … |
| n | Rn | Rn | In | 0 | C |
Esistono diversi tipi di piano d’ammortamento ma nel prosieguo di questo articolo ci concentreremo sull’ammortamento francese, ossia quello più diffuso e che comunemente ti viene offerto dalle banche quando si negozia un mutuo.
Tuttavia ogni piano di ammortamento deve soddisfare alcune caratteristiche:
- Ogni quota di interessi Ik è calcolata proporzionalmente al tasso di interesse i ed al debito residuo del periodo precedente (k-1) nel caso di rate posticipate e del periodo in essere nel caso di rate anticipate (Ik = iDk-1 con rate posticipate, Ik = iDk con rate anticipate)
- All’inizio dell’ammortamento (periodo 0) il debito residuo D0 equivale al capitale preso a prestito ed il debito estinto equivale a 0 (D0 = C; E0 = 0)
- Alla fine dell’ammortamento (periodo n) il debito residuo Dn equivale a 0 ed il debito estinto corrisponde al capitale preso a prestito C (Dn = 0 ; En = C)
- La quota di capitale di ciascun periodo (Ck) diminuisce il debito residuo ed aumenta il debito estinto del periodo precedente (Dk = Dk-1 – Ck ; Ek = Ek-1 + Ck)
- Per ciascun periodo k, la somma del debito residuo Dk e del debito estinto Ek è costante ed uguale al capitale C preso a prestito (C = Dk + Ek)
- La sommatoria di tutte le quote capitale incluse nel piano di ammortamento è uguale al capitale C preso a prestito all’inizio dell’operazione ( ∑ Ck = C )
- La sommatoria del valore attuale di ciascuna delle rate R incluse nel piano di ammortamento è uguale al capitale C preso a prestito all’inizio dell’operazione ( ∑ [ R / (1 + i)k ] = C )
Nel prossimo articolo sulla matematica finanziaria ci concentreremo sul tipo di ammortamento piu’ diffuso, ovvero quello cosiddetto “francese“.